题目描述

给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。 

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？ 

输入

输入数据：

第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)  

以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出

输出数据：

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 21  2  3  4  5

样例输出

6

资源约定：

峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M

CPU消耗 < 2000ms

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之前没有学过这个前缀和，所以这道题目没有写出来（很菜），所以借助这道题目顺便来学习一下前缀和的解题思想。

以下解题思路来自这篇博客：

题目思路

　　求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum[i]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum[r] - sum[l-1]就是区间[l,r]的和。区间[l,r]的和是k的倍数即(sum[r] - sum[l-1])%k == 0 即sum[r]%k == sum[l-1]%k

　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？

我们用一个数组cnt[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：

　　数列 1 2 3 4 5   mod = 2

　　对前1个数的和取模， 为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0

　　对前2个数的和取模， 为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1

　　对前3个数的和取模， 为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0

　　对前4个数的和取模， 为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1

　　对钱5个数的和取模， 为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2

　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即[0,i]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上 加上前缀和取模后为0的个数 即ans+2 = 6;

上面的题解看懂的话，就不用看下面的这部分了。下面是用自己的话转化成自己的理解，也方便自己在以后重新翻阅博客的时候，能够快速重新学习。

　　举个简单的例子，比如测试样例为：

　　6 3

　　1 3 4 5 8 9

　　那么正确的答案应该是6。前缀和的解题思想主要就是再遍历输入数据的时候，把数组的前缀和%k（为什么要对k取余，上面的解题思路就写的很好理解）之后保存到数组sum里面，那么 1 3 4 5 8 9，取完前缀和并%k之后就是 1 1 2 1 0 0。数组中的后面两个0，不难理解就是前缀和%k为0的组合，也就是说，sum[i] == 0的，都是满足条件的。接下来再统计相同sum[i]的组合。相同sum[i]的意思就是在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。比如前两个1之间，sum[r]-sum[l-1]之间的数%k==0（就是3%3==0）。所以用另外的一个数组cnt来保存同样的sum[i]的个数值，用ans一直递加sum[i]相同个数的组合，后面再加上cnt[0](表示%k==0)的个数就是答案了。

代码：

#include
     
      using namespace std;typedef unsigned long long int ull;int sum[100001];int num[100001];int cnt[100001];int n,k;ull ans = 0;int main(){	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));	memset(sum, 0, sizeof(sum));	scanf("%d%d",&n, &k);	for(int i = 1; i <= n; i++){		scanf("%d",&num[i]);		sum[i] = (sum[i-1] + num[i])%k;		ans += cnt[sum[i]];		cnt[sum[i]]++;	}//	for(int i=1;i<=n;i++)//        cout << sum[i] << " ";//    cout << endl;	printf("%lld\n",ans+cnt[0]);	return 0;}